[Mei,2nd,Ex1.1] 找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.
找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.
尝试:
\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]
注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.
题目来自[1] 习题1.1, P.3
[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版